帽子问题

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在这个游戏的开头，我们设想自己要参加一个电视游戏大奖赛。规则呢，是这样。我们有 n 个人，作为一个小组来参加游戏。游戏中，主持人会给我们每人头上戴一顶帽子。帽子有黑白两种颜色，可以认为它们在我们各自头上的分布是临时随机决定的。小 组中的每一个人，可以看到其他人的帽子颜色，但不知道自己的帽子颜色。每个游戏成员都被要求回答自己帽子的颜色。我们各人面前有三个按钮，可以选择“黑 色”“白色”或“弃权”(也就是 pass，不作猜测的意思)。小组成员彼此之间没有任何信息交流，他们必须各自独立地作出自己的选择，并且谁也不知道其他人的选择。如果小组成员全部选择 了 pass，也就是每个人都弃权，则他们输了；如果有小组成员作出了明确的猜测，但某个人猜错了，则结果也是输。只有当小组中有人做出猜测，并且每个做出猜 测的人都猜对了，他们才能获胜，一起获得最后的大奖。

这个游戏还有最关键的一点：在游戏开始前(帽子戴上之前)，有一个“协商时间”，小组成员可以聚在一起，讨论决定小组应采取什么样的策略。但这个交流过程在游戏开始时自然终止。

现在的问题是：小组选择什么样的策略，才有最大的机会获胜呢？

在这里用Hamming码给出了问题在时候的一种解释和策略，成功概率为。但这个问题为什么最后归结于Hamming码，这种方法为什么是最优的呢？这里再讨论一下。

模型：帽子的黑白状态为一个n长的串，可以用一个n维的超立方体G的顶点坐标,来表示，坐标为0表示白帽子，1表示黑帽子。G上两顶点相邻当且仅当它们之间仅相差一位，这样每个顶点恰与n个点相邻。

目标：主持人在G上随机选取一个顶点P，第i个观众知道这个顶点除第i个之外的n-1个坐标值，给出一种回答策略，使得所有问答的观众都答对了正确的P。

这个问题的关键是怎么把“策略”模型化。

注意到在游戏中，每个人他能观测n-1个坐标值，也就是他能够确定P为G上某条边的两个顶点之一。他在游戏中的策略具体表现为，当他观测到这条边时，他选择这条边的哪个顶点，或者不做选择。

如果观测到，策略选择了，则在G上连一条有向边。

策略：一个策略C可以表示为G的某些边的有向化。

引理：如果P点处出度（即P连出的边数）等于0——没有人回答错误，且出度（连向P的边数）大于0——至少有一人回答，则当主持人选择P点，观众获胜。否则观众失败。

在策略C下，错误点构成的集合记作。此时，观众成功的概率为.

定义：图G(V,E)上，V的子集D称为G的Dominating Set当且仅当G的任何顶点要么在D中，要么与D的某个顶点相邻。

定理：G的顶点集为某个策略C的错误点集当且仅当为G（无向图下）的Dominating Set。其中。

对于一般图，求Dominating Set是NP完全问题。对于这个超立方体而言，一方面有下界：

定理：. 相应的，观众成功的概率不可能大于 .

而在时，上面的等号可以取到，构造个长度的01串，任何两个之间的距离大于2（即为纠错度为1的纠错码）。

讨论：如果帽子颜色有三种，又该如何？